剪裁展开图求用纸长度

【项目式学习】——制作正方体祝福盒．

新年来临之际，文创社的同学们拟用卡纸制作若干个正方体祝福盒．

剪裁说明

素材一　一卷卡纸规格：宽为$40\text{cm}$，长度足够．

素材二　如图1所示，卡纸有两种剪裁方式（展开图1）和展开图2），可围成的祝福盒如图2所示（不考虑接缝和损耗），每个祝福盒的棱长均为$10\text{cm}$．

素材三　为了最大化的利用卡纸尽量减少浪费，小明先剪出一块$40\text{cm} \times 50\text{cm}$大小的卡纸，如图3所示，用于研究卡纸的剪裁方案和利用率．

卡纸利用率公式为：卡纸利用率$= \frac{\text{卡纸被利用的面积}}{\text{卡纸实际被消耗的面积}} \times 100\%$

问题解决

理解问题　（1）按展开图2可以围成祝福盒_____（填“$A$”或“$B$”）；

（2）①在图3的卡纸中，最多可以剪裁出_____个祝福盒$A$，卡纸的利用率为_____；

②若想尽可能多的剪裁出祝福盒B，请你在图3中画出设计示意图（其展开图在卡纸上的分布情况），要求：剪裁部分打阴影，外轮廓用尺子画实线描出，不用写作图结论．

并回答：最多可剪裁出_____个祝福盒$B$，卡纸的利用率为_____．

开展研究　（3）想要剪裁出$m$个祝福盒$B$，卡纸的总长度最少为_____$\text{cm}$（用含$m$的代数式表示）．

成果应用　（4）若这卷卡纸全部用于制作祝福盒$B$，并采用了利用率最高的方案制作，完成后发现卡纸恰好用完．经过同学们的计算，发现卡纸利用率高达$99\%$，请问他们一共制作了多少个祝福盒？（卡纸的总面积$\times$利用率$=$卡纸剪裁部分面积，请使用一元一次方程求解）